Inferens og hypoteser:

Inferens

Sentralgrenseteoremet:

• Hva:
  • Statistikk → Inferens og hypotese → Inferens → Sentralgrenseteoremet.
  • En lov som sier at en fordeling av et uendelig utvalg med uavhengige, stokastiske variabler vil få en normalfordeling.
  • Litt som De Store Talls lov, bare at sentralgrenseteoremet i tillegg sier at fordelingen vil være normalfordelt - DSTL sier bare at tendensen vil nærme seg den forhåndsberegnede sannsynligheten\andelen, uten å nevne normalfordeling.
• Når:
• Hvordan: 
  • Sentralgrenseteoremet sier at når vi har uavhengige, stokastiske variabler så skal vi forvente at et stort utvalg vil få en normalfordeling.
  • Trekker mange utvalg, med n=15 i hvert utvalg
  • Regner ut gjennomsnitt i hvert utvalg
  • Laget nytt utvalg av gjennomsnittene
  • Det nye utvalget vil tendere mot normalfordeling
  • Dette kalles sentralgrenseteoremet

Sannsynlighetsfordeling:

• Kontinuerlig fordeling: Fordeling basert på kontinuerlig variabeltype, dvs alle tall og desimaler er tillatt.
• Uniform fordeling: Samme antall av alle verdier.
• Kumulativ fordeling: Samme som kumulativ frekvensfordeling\tabell, bare med prosentandeler.

Konfidensintervall:

• Når:
  
  • Ved hypotesetesting.
  • Konfidensintervall gir et anslag med sannsynlighet, for hvilken verdi en måling kan antas å resultere i.
  • Konfidensintervall kan vise om det er mulig og\eller sannsynlig at en verdi vil gi et visst resultat.
  • Med konfidensintervall kan man beregne sannsynlige og mindre sannsynlige utfall, for å vurdere worst case scenario - eller best case.
• Hvordan:

  • Fremgangsmåte:

    • Finn konfidensnivå.
    • Regn testobservator.
    • Regn punktestimat.
    • Regn ut feilmargin
    • Konfidensintervall = Punktestimat +\- feilmargin.
  • Konfidensintervall til Z-test: (er verdien realistisk?)
    
    • Konfidensintervall=Punktestimat +\- Testobs/2 * standardfeil
    • Andeler:
      • Konfidensintervall:
        • P=punktestimat +\- feilmargin.
        • P= punktestimat +\- testobs/2 * rot((p*q)/n)
      • Utvalgsstørrelse:
        • n=Z^2a/2*((pq)/E^2)
  • Konfidensintervall til T-test: (er gruppene ulike?)
    
    • T=(xsnitt-gjsn)/(S/rot(n))
    • df=n-1
    • Konfidensintervall=Punktestimat +\- Testobs/2 * standardfeil
• Konfidensintervall er alltid tosidig, altså alfa/2.
• Gjennomsnitt
  • u=punktestimat +\- E
  • u=xsnitt+\- ta/2*(s/rot(n))
    • (s/rot(n))=standardfeil, feilmargin
  • df=n-1
• Lengde på konfidensintervall = 2E (2* feilmargin)
  • Konfidensintervallengde= 2 * Z * (S/sqrt(n))

Signifikans:

Signifikansnivå:

• The significance level α is the probability of making the wrong decision when the null hypothesis is true.
• Forteller forkastningsområdet.
• I tosidige tester deles alfa på 2, for å deles på begge haler. Se hypotesetest for tosidige tester.
• Signifikansnivå=1-konfidensnivå
• Se tabell under konfidensnivå.

Forsøksdesign:

Utvalg:

• Fordelingen av ulike variabler må være lik i utvalget som i populasjonen.
  
  • Dette sikres gjennom tilfeldige utvalg (ikke bekvemmelighetsutvalg).
• Observator er det man observerer i et utvalg, mens parameter er virkeligheten som man ikke ser.

Utvalgsandel:

• Se Punktestimat.

Utvalgstyper og -metoder*

• Utvalgstyper:
  • Tilfeldige:
    • Klyngeutvalg:
      • Feks alle elever fra en skole\klasse\fylke.
      • Hva: Man velger alle individer innen en bestemt undergruppe.
      • Fordeler: Man får med alle individer med ulike demografiske variabler innen de valgte undergruppene.
      • Ulemper: Grupperinger er aldri tilfeldige, de vil alltid ha noe til felles, som kan påvirke forsøksresultater.
    • Tilfeldig utvalg:
    • Systematisk utvalg:
      • Hver x. deltager
    • Stratifisert utvalg:
      • Andel av utvalget som matcher egenskaper skal matche populasjonen det skal representere.
  • Ikke-tilfeldige:
    • Frivillig deltagelse
    • Bekvemmelighet
  • Relaterte:
    • Observasjoner som hører logisk sammen, feks før- og etter-utvalg.
    • Utvalg som har en naturlig sammenheng, feks før- og etter-målinger.
  • Urelaterte:
    • Observasjoner uten noen logisk sammenheng.
    • Utvalg som ikke har noen slik naturlig sammenheng.

Utvalgsstørrelse

Standardfeil:

• Standardfeil er en type feilmargin (ikke ekvivalent).
• Enten:
  • Standardfeil for Z-intervall=standardavvik/rot(n)
  • Standardfeil for T-intervall=stokastisk/rot(n)
  • ROT( p*(1-p))/n )
    • ROT( (H0 * (1-punktestimat H0))/n )
    • p=h0, påstand.

• Standardfeil ved sammenligning av 2 grupper:
  
  • rot((Standardavvik1^2/n1)+(Standardavvik2^2/n2))
  • Feks
    • n1=106
    • n2=115
    • S1=1,24
    • S2=1,2
    • Mellomregning (=standardavvik^2/n) for hver gruppe
    • Standardfeil,2 grupper =ROT(mellomregning1+mellomregning2)
    • Feilmargin = rot((1,24^2/106)+(1,2^2/115))=0,16418

Statistiske tester:

Z-test:

• Brukes når: Sjekk under testtyper av hypotesetester.
• You must know the standard deviation of the population and your sample size should be above 30 in order for you to be able to use the z-score. Otherwise, use the t-score.
• Fremgangsmåte:
  
  • State the null hypothesis and alternate hypothesis.
  • Choose an alpha level.
  • Find the critical value of z in a z table.
  • Calculate the z test statistic (see below).
  • Compare the test statistic to the critical z value and decide if you should support or reject the null hypothesis.

Testobservator Z:

• Hva:
  
  • Forteller hvor i fordelingen en verdi befinner seg, basert på standardavvik fra gjennomsnitt.
    • The z-score is equal to the number of standard deviations from the mean.
      A score of 1.28 indicates that the variable is 1.28 standard deviations from the mean.
  • Testobservatoren slås opp i tabell for å finne ut hvor stort område av fordelingen som dekkes. 68-95-99-regelen omhandler dette.
    
  • Hvis tabellverdien for testobservator z befinner seg utenfor alfa, innenfor kritisk verdi z, så forkastes H0.
• Når:
  • Ved testing av om en gitt verdi er innenfor et datasett.
• Hvordan:
  1. Regne ut testobservator Z:
     
     • (Finn ut når Z regnes ut på hvilken måte)
     • Z=(x-μ)/σ
       • Z*σ=x-μ
       • x=μ+σZ
       • x=det man tester mot
       • u=gjennomsnittet
       • σ=standardavviket
     • Z=(xsnitt-μ)/σx
       
       • x=det man tester mot=15
       • μ=gjennomsnittet=16
       • σ=standardavviket=4
       • n=4
       • σx=σ/rot(n)=4/rot(4)=2
       • z=(15-16)/2=-1/2=-0,5
  2. Finne fordelingsandel fra testobservator Z:
     
     • Z→P på kalkulator:
       • -0.5+
       • blå+
       • 3(z-p)
     • =
     • 0.30854
  3. 68-95-99-regelen:
     • 68,26% er innenfor 1 standardavvik (alfa).
     • 95% er innenfor 2 standardavvik.
     • 99,7% er innenfor 3 standardavvik.
• Jo lavere standardavvik, desto brattere blir fordelingskurven.
  
• If you look in the z-table for a z of 1.28, you’ll find the area is .3997.
  This is the region to the right of the mean, so you’ll double it to get the area of the entire central region: .3997*2 = .7994 or about 80 percent.

Kritisk verdi Z:*

• Slå opp signifkansnivå i tabell i bunn. Ignorer tosidig\ensidig i dette steget.
• Fordel alfa dersom testen er tosidig.
• Slå opp alfa i tabell i bunn, venstre oppslag for kritisk verdi Z med alfa.
• Tabellen gir alltid venstrearealet.
• A critical value of z is sometimes written as z_a, where the alpha level, a, is the area in the tail.
  
• Finn kritisk verdi Z:
  • Slå opp signifkansnivå i tabell i bunn. Ignorer tosidig\ensidig i dette steget.
  • Fordel alfa dersom testen er tosidig.
  • Slå opp alfa i tabell i bunn, venstre oppslag for kritisk verdi Z med alfa.

Z-fordeling: 

• In short, the Z-distribution is a way of naming the Standard Normal distribution.
  The Standard Normal Distribution (z distribution) is a specific instance of the Normal Distribution that has a mean of ‘0’ and a standard deviation of ‘1’

T-test:

• Brukes når: Sjekk under testtyper av hypotesetester.

	Metode 2	Uavhengig t-test, Independent Samples t-test	One sample t-test
Hensikt		compares the means for two groups.	tests the mean of a single group against a known mean
Formel:
	T=((xsnitt-u)*rot(n))/s		t = (x̄ – μ0)/ (s/√n). x̄ = sample mean = 280 μ0 = population mean = 300 s = sample standard deviation = 50 n = sample size = 15 t = (280 – 300)/ (50/√15) = -20 / 12.909945 = -1.549. (x-my) / (s/rot(n)) ((499,354-495)*rot(5278))85,/0904 3,7174

Testobservator T: *

• Om resultatet:
  • A large t-score tells you that the groups are different. Dette betyr at man har gruppert dataene på en meningsfull og nyttig måte.
  • A small t-score tells you that the groups are similar. Dette betyr at forskjellene mellom gruppene er så små at grupperingskriteriet ikke er meningsfullt eller nyttig.

Kritisk verdi T:

• Kalkulatorknapper:
  • Tast antall df/frihetsgrader
  • Tast blå knapp
    
  • Tast M+(INV)
  • Tast blå knapp
  • Tast 2 (df,t→P)
  • Tast inn venstrehalesannsynlighet
  • =
• Feks
  • 19
  • Blå knapp
  • M+(INV)
  • Blå knapp
  • 2 (df,t→P)
  • 0.975 (95% konfidensintervall)
  • =
  • 2.09302

Chi-kvadrattest:

• Brukes når:
  • Når man vil se etter korrelasjon mellom kvalitative variabler.
• Forutsetninger: 
  • Tilfeldige utvalg.
  • Hver verdi i forventede dataer må være minst 5.
• Hvordan:
  1. Man må ha en tabell over observerte verdier til å starte med.
  2. Beregn forventede verdier i scenario uten korrelasjon.
     • Expected=(kolonnesum*Radsum)/totalsum
       • Expected=den enkelte rute i tabellen.
       • Kolonnesum=Sum for aktuell rutes kolonne.
  3. Undersøk forskjell mellom observerte(O) verdier og forventede (E).
     • Forskjell=((Observed-Expected)^2)/Expected
       • Forskjell=Forskjell mellom observed og expected i den aktuelle ruten.
  4. Finn testobservator chi (Q-kvantil):
  5. Finn kritisk verdi (alfa-kvantil):
  6. Vurder hypotese:
     • Testobservator Q-kvantil X^2 < Kritisk verdi alfa-kvantil X^2a=beholde H0
     • Testobservator Q-kvantil x^2 > Kritisk verdi alfa-kvantil X^2a =kast H0

Kritisk verdi chi (Q-kvantil):*

• Beregn frihetsgrader
  • Frihetsgrader df=(kolonneantall-1)(radantall-1)
• Finn alfa fra konfidens.
  • Finn signifikansnivå
• Slå opp i tabellen litt lenger ned.
• Hvordan: 
  • sum(((Observed-Expected)^2)/Expected)
    • Hvor observed=observert verdi i den enkelte rute.
    • Expected=beregnet forventning i tilsvarende rute

Testobservator chi (alfa-kvantil):*

• Hvordan:
  • Beregn df.
  • Finn signifikansnivå.
  • Finn frem alfa i tabell, via df og signifikansnivå.