Matematikk, matte

Parenteser

Regler

1. Ved parentes inni parentes, løs opp innenifra og utover.
2. Gange og dele før pluss og minus
3. Ganger du med noe inni parentesen, så må du gange med alt inni parentesen
4. 1.kvadratsetning: (x+y)^2 = x*^2+2xy+y2

Hvordan

Eksempler

• 3*9+2=
  27+2= (gange før pluss)
  29 
• 3(9+2)=
  27+6= (gange først. Alt i parentesen behandles samtidig)
  33
• 3(x+2)=
  3x+6 (Gange først. Alt i parentesen behandles samtidig)
• 4(3(9+2)+3(9+2))=
  4(3(11)+3(11))= (Ved parentes inni parentes, løs opp innenifra og utover)
  4(33+33)=
  4(66)=
  264
• (x+1)(x+2)=
  x^2+2x+x+2= (gange før pluss. Alt i parentesen behandles samtidig)
  x^2+3x+2
• (x+y)^2 =
  (x+y)(x+y)=
  x^2+xy+xy+y^2=
  x^2+2xy+x^2
   

Derivasjon

Formål/bruksområder

• Måler den avhengige variabel med hensyn på uavhengig variabel.
• Brukes for å tallfeste endringer og retninger
• Brukes for optimering, maksimering og minimering

Hvordan

• Regler

  1. y'(cx^n)=ncx^n-1 : "Flytt eksponenten ned foran og trekk fra 1 i eksponenten"
     • S = 0.3M^1 =
       S' = 1*0.3M^0=
       S' = 0.3M^0 =
       S' = 0.3
  2. y'(c)=0 : "Den deriverte av en konstant er 0"
     • Hvis man betaler en fast skatt uansett inntekt, så vil endringer i inntekten gi en skatteendring på 0.
       S = 10 =
       S' = 0 
  3. y'(f(x)+g(x))=f'+g' : Flerleddede funksjoner deriveres ledd for ledd
     1. y = 2x^3+5x^2 =
        y = 2*3*x^(3-1)+5*2*x^(2-1) =
        y' = 6x^2 + 10x 
     2. y = 4x^5 - 2x^4 =
        y = 4*5*x^(5-1) - 2*4*x^(4-1) =
        y' = 20x^4 - 8x^3 
• Den deriverte sier hvor mye den avhengige variabel endres når den uavhengige variabel endres med 1 enhet.

• eks

  • Uavhengig variabel = timers arbeid

  • Avhengig variabel = årslønn

  • Årslønn = Times arbeid * timepris

  • Avhengig variabel = Uavhengig variabel * X

  • Derivert = (avhengig variabel)/(uavhengig variabel)=X

• eks

  • S=skatt
    M=inntekt
    30% skatt

  • Skatt = inntekt * 30%
    S=0.3M 

  • S' = dS/dM
    S' = Skatt/inntekt = 0.3

• Eks

Formler, benevnelser

• Derivert = (avhengig variabel)/(uavhengig variabel)=X
• "Den deriverte" = endringen man er ute etter
• X' eller dX/dY = den deriverte av X med hensyn til Y. Feks X' = årslønn/timers arbeid.

• y'(c)=0
• y'(cx^n)=ncx^n-1
• y'(f(x)+g(x))=f'+g'
  
• y'(lnx)=y'=1/x
• y'(lnf(x))=(f'( x ))/(f( x))
• y'(ln2x^3)=3/x

Partiellderivasjon

Formål/bruksområder

• Når høyresiden inneholder flere variabler.

Hvordan

• Eks
  • C = konsum
    M = inntekt
    r = rente
    C = 0.8M - 1000r 
  • Hvor mye endres konsum, dersom inntekt øker med 1 og rente forblir uendret?
  1. 1. Fjern konstante ledd, siden de er 0 uansett
     2. Deriver gjenværende ledd
     3. C'(0.8M)=1*0.8*M^(1-1)=0.8M^0= 0.8
  2. Hva skjer med konsumet dersom renten øker med 1% og inntekten forblir uendret?
     1. Fjern konstante ledd, siden de er 0 uansett
     2. Deriver gjenværende ledd
     3. C'(-1000r)=1*-1000*r^(1-1)=-1000r^0=-1000
• Eks
  • Når nytten av det ene godet avhenger av mengden av det andre godet:
  • U = ost^0.6*vin^0,4
  • U'ost = (0,6*Ost^0,6-1)*Vin^0,4 =
    U'ost = 0.6Ost^-0,4*Vin^0,4
• Z = 2x^0,4+3y^0,5 =
  Z' = 0,4*2*x*(0,4-1)+0,5*3*y^(0,5-1) =
  Z' = 0,8X^(-0,6)+1,5Y^(-0,5) 

Formler

• Z = cx^n + dy^m =
  Z'x = ncx^n-1
  Z'y = mdy^m-1 

Eksponenter